FFT (Fast Fourier transform)

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https://www.rdocumentation.org/packages/stats/versions/3.6.2/topics/fft
https://youtu.be/VYpAodcdFfA – Two Effective Algorithms for Time Series Forecasting (Danny Yuan)
고속푸리에변환 [fast Fourier transform, 高速─變換] (두산백과)
https://m.blog.naver.com/umchinsu/221227664234
https://youtu.be/1JnayXHhjlg
  • Fast (Discrete) Fourier Transform: 고속푸리에변환
  • Computes the DFT(Discrete Fourier Transform, 이산푸리에변환) of an array with a fast algorithm
  • 함수의 근사값을 계산하는 알고리즘.
    Fourier transform에 근거하여 근사공식을 이용한 DFT를 계산할 때, 연산횟수를 줄일 수 있도록 고안되었다
  • 1960년대 중반 J.W.콜리와 J.W.터키에 의해 알려짐
  • 여러 주기의 신호가 뒤섞여 있을 때 어떤 주파수 성분이 포함되어 있는지 알기 위해서 시간 영역의 신호를 주파수 영역의 신호로 변환하는 것
  • 간단한 계산으로 영상 또는 아날로그 신호 등의 Fourier transform을 계산하기 위한 알고리즘
  • 이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform)을 효과적으로 얻어내는 수치적 방법

  • Fourier transform : time함수 –> frequency함수(Amplitude, frequency, phrase)로 변환
  • Inverse Fourier transform : frequency함수 –> time함수 로 변환
  • 1초에 1번 진동 1Hz , 진동주기 1초,
  • 1초에 10번 진동 10Hz, 진동주기 1/10초

LTI (linear time-invariant)

변환이란? 같은 현상을 다른방법으로 설명할수 있는 매핑. ex) 우리집 : 주소 , GSP위/경도.
Time Domain에서 어떤 연속적인 signal 은 frequency Domain의 여러 Sinusoids(정현파, 사인함수와 코사인 함수)의 합으로 변환이 가능하다.

Convolution, FFT

https://stackoverflow.com/questions/60198758/why-doesnt-this-r-code-produce-the-same-result-convolution-vs-fft
https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution_theorem
R

고속푸리에변환

hm(0≤m≤N-1)이 복소수들의 집합일 때, 수열 {hm}의 이산푸리에변환은 다음과 같다..

고속푸리에변환 본문 이미지 1
고속푸리에변환 본문 이미지 2

연속푸리에변환에서와 마찬가지 방법으로 이산변환도 다음과 같이 역변환을 구할 수 있다.

고속푸리에변환 본문 이미지 3
고속푸리에변환 본문 이미지 4

hn은 역푸리에변환계수라 불린다. 고속푸리에변환의 알고리즘은 ①의 계산을 할 때 직적분해(direct product decomposition)를 이용하여 단계를 나누어 수행할 수 있다는 사실에 근거한다. N=N1N2, N1과 N2가 서로 소일 때, 2차원의 푸리에변환계수를 예로 들어보자.

고속푸리에변환 본문 이미지 5
고속푸리에변환 본문 이미지 6
고속푸리에변환 본문 이미지 7

한 번의 복소곱셈과 복소덧셈을 하나의 기본연산으로 한다면, 호너의 방법(Horner’s method)을 사용했을 때는 N2, 즉 (N1N2)2의 연산이 필요하나, 직적분해방법을 사용하면 N1N2(N1+N2)의 연산으로Hn1,n2를 계산할 수 있다. 위 변환에 대응하는 행렬은 N1×N1과 N2×N2행렬의 직적(direct product)이므로, 다음 두 단계로 나누어 계산을 수행한다. 첫 단계로, 0≤m1≤N1-1과 0≤n2≤N2-1에 대하여

고속푸리에변환 본문 이미지 8

를 계산하고, 다음에 0≤n1≤N1-1과 0≤n2≤N2-1에 대하여

고속푸리에변환 본문 이미지 9

를 계산한다.

Categories: Data Science

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